Quem quer ser milionário?

Maneiras de se tornar rico de uma forma mais rápida: ganhar na mega-sena, ser um jogador de futebol, receber uma herança, estudar matemática… Estudar matemática!? Sim, ela pode ser um atalho para você se tornar milionário, mas para isso você terá de resolver um dos problemas que fazem parte dos denominados problemas do milênio. Um deles envolve uma matéria que aprendemos no ensino fundamental: os números primos.

Crédito da imagem: http://goo.gl/sVMvrg

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Por volta de 300 a.c., Euclides formulou os primeiros teoremas sobre os números primos: 1. Há infinitos números primos e 2. Todo número maior do que um pode ser decomposto em um produto de números primos. Desde então o tema se tornou objeto de fascínio dos matemáticos, que procuram encontrar um padrão de distribuição desses números: 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… que, em uma observação rápida, já se mostra não ser trivial. Famosos matemáticos como Eratóstenes, Fermet, Euler publicaram estudos importantes sobre a distribuição de números primos, mas sem uma conclusão definitiva sobre o assunto. Riemann, orientado em seu doutorado por Gauss, formulou a hipótese de Riemann que é um dos sete seis (um deles já foi resolvido, mas o ator recusou o prêmio) problemas do milênio para cuja a solução (a prova da hipótese ou sua refutação) o Instituto Clay de Matemática oferece um prêmio de um milhão de dólares.

Ok! Mas qual a utilidade de se encontrar o padrão nessa distribuição? O que ela pode mudar em minha vida além de me tornar milionário? Ao provar a hipótese de Riemann a segurança da maior parte das empresas, órgãos governamentais e das pessoas estaria comprometida. O motivo? O RSA, que é o método de criptografia mais utilizado no mundo, utiliza chaves de criptografia que são geradas pelo produto de dois números primos gigantescos.

A utilização de números primos para a geração das chaves foi proposital. A fatoração para acha-los é um problema P vs NP, outro na lista dos problemas do milênio.  O problema P vs NP consiste em determinar se uma solução que pode ser verificada rapidamente (NP) possa também ser resolvida rapidamente (P), ou seja, se P = NP ou P ≠ NP. Exemplo prático disto no problema da fatoração: quais são os dois números primos que geram o número 13.717.421? Você consegue resolver isso de forma rápida sem consultar o Google? Provavelmente não (ao menos que você seja o personagem do filme O Cubo) . Porém, sabendo que o números 3.607 e 3.803 são os números primos que geraram este número basta realizar a multiplicação para verificar isso de forma rápida. Computacionalmente, também não temos um algoritmo que resolva o problema de forma rápida, ou seja, em tempo polinomial (a não ser em um computador quântico teórico), ou seja, atualmente o problema da fatoração, base da criptografia RSA, é um problema P ≠ NP.

Voltamos agora para falar novamente da hipótese de Riemann. Caso a hipótese seja comprovada, teremos um algoritmo de distribuição dos números primos que, ao ser usado, possibilitará a redução da complexidade do problema fatorial para polinomial (P = NP) e, consequentemente, não estaremos mais seguros mas, pelo menos, alguém estará milionário.

Fontes:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Problemas_do_Pr%C3%A9mio_Millennium
http://www.repositorio.ufpe.br/handle/123456789/7361
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_da_aritm%C3%A9tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/A_quest%C3%A3o_P_versus_NP
http://blog.mhavila.com.br/2010/08/16/p-versus-np-continua-sem-solucao-comprovada/
http://csis.bits-pilani.ac.in/faculty/murali/netsec-09/seminar/refs/atharvasrep.pdf
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/rwprobst/formacao-academica/curriculo/primos.pdf
http://pt.wikipedia.org/wiki/RSA

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