O Lendário Problema de Monty Hall

Suponha que você esteja em um programa de televisão, daqueles que distribuem prêmios através de jogos e brincadeiras. Na sua frente encontram-se três portas. Atrás de uma delas está o prêmio máximo do programa, um carro. Nas portas restantes, há uma cabra atrás de cada uma delas. O apresentador do programa pede que você escolha uma das três portas. Você, então, escolhe uma delas. Entretanto, ela não é aberta. O apresentador abre uma das outras portas que você não escolheu e mostra que há uma cabra atrás dela. Ele vira-se e diz que você tem uma última chance. Você pode permanecer com a sua escolha ou mudar para a porta que ainda não foi aberta. Diante dessa situação, o que você faria? Mudaria de porta ou permaneceria na mesma?

Em setembro de 1990, essa questão foi enviada por Craig F. Whitaker à Marilyn vos Savant. Marilyn trabalhava para a revista Parade e assinava uma coluna chamada ‘Pergunte a Marilyn’ (Ask Marilyn). Nessa coluna, Marilyn respondia questões matemáticas enviadas pelos leitores. A revista se orgulhava em dizer que ela tinha o QI mais alto do mundo, registrado pelo Guiness Book (livro que registra os maiores recordes mundiais).

Marilyn analisou a questão e respondeu que você SEMPRE deveria mudar. Dessa forma você aumentaria as suas chances de ganhar.

Sua resposta surpreendeu a todos. Se você pensar que, ao ser oferecida a oportunidade de mudar, sobram duas portas, então suas chances permanecem iguais, ou seja, 50% para cada lado (ganhar ou perder).

Uma avalanche de pessoas escreveram para a edição da revista alertando que Marylin estava errada (92% das cartas enviadas, para ser mais exato). O sistema educacional americano enfrentava a sua maior crise, e a relutância de Marylin em afirmar que a resposta estava correta, enfureceu a comunidade acadêmica e científica dos EUA. Vejam algumas coisas do que diziam:

“Eu estou muito preocupado com a falta de habilidade para a matemática do público em geral.
Por favor, ajude, confessando seu erro”
Robert Sachs, Ph.D., Universidade George Mason

“Há muita ignorância em matemática neste país e nós não precisamos que o QI
mais alto do mundo propague-a ainda mais. Que vergonha!”
Scott Smith, Ph.D., Universidade da Flórida

“Estou chocado que, mesmo depois de ser corrigida por, no mínimo, três matemáticos,
você ainda não admita o seu erro”
Kent Ford, Universidade Dickinson State

“Estou certo de que você receberá muitas cartas dos colégios e de estudantes
universitários. Talvez você deva guardar alguns endereços para
ajudarem-na em suas colunas futuras”
W. Robert Smith, Ph.D., Universidade Georgia State

“Você está completamente errada… Quantos matemáticos irados são necessários
para fazer você mudar de opinião?”
E. Ray, Ph.D., Universidade de Georgetown

“Se todos aqueles Ph.D.s estiverem errados, o país está com um problema muito sério”
Everett Harman, Ph.D., Instituto de Pesquisas do Exército dos EUA

Entretanto, ao explicar como solucionou o problema, Marilyn provou a todos que estava correta. Ela percebeu um detalhe que ninguém mais havia percebido. O apresentador, que sabe o que tem atrás de cada porta e, para manter a emoção do programa, nunca abrirá a porta que possui o carro atrás. Isso muda radicalmente a probabilidade de você ganhar o prêmio, caso opte por mudar a sua escolha. Observe atentamente a combinação de situações no diagrama abaixo:


A segunda linha mostra que, caso não mude a sua escolha, terá uma, em três, possibilidades de ganhar (1/3). Agora, caso resolva mudar, suas chances de ganho são de duas, em três, possibilidades (2/3). Ou seja, sempre mudando a sua escolha inicial, a sua probabilidade de ganhar o carro é muito maior.

Dessa história, podemos tirar duas grandes lições:

Primeira: Ter altos graus acadêmicos, evidentemente, aumenta a sua probabilidade de resolver problemas. Mas, não garante que você vai consegui resolver todos. É preciso ter mente aberta e humildade para que a arrogância não provoque cegueiras intelectuais.

Segunda: A unanimidade é burra! Muitas vezes nossa intuição pode cometer erros. É preciso analisar um problema de vários ângulos, e com diferentes visões. Afinal, o Sol passa todos os dias por sobre as nossas cabeças. E no entanto, não podemos concluir que ele gira em torno da Terra.

Um grande abraço e até a próxima!

4 comments

  1. Caro Reston, permita-me ser o chato que vai discordar da conclusão do artigo e da Marilyn.
    Vejamos: Se entendemos como correta a afirmação de que “O apresentador, que sabe o que tem atrás de cada porta e, para manter a emoção do programa, nunca abrirá a porta que possui o carro atrás.” , então a probabilidade será sempre de 1/2, nunca de 1/3. Portanto, mudar ou não após uma das portas com a cabra ser aberta não altera a probabilidade. Concorda?
    Aguardo réplica!

    Gostar

    1. Olá!

      Em primeiro lugar, gostaria de agradecer a sua participação aqui no nosso blog. Ficamos muito felizes com o seu comentário!

      Em segundo lugar, dizer que você não é um chato e, sim, claro, permitimos a todos discordar. Acreditamos que o conhecimento se adquire com debates abertos e múltiplas visões do mesmo assunto.

      Escrevemos artigos relacionados a tecnologia ou matemática para pessoas que não são da área. Tentamos utilizar expressões e terminologias comuns, para que todos consigam entender assuntos complexos, como esse.

      O que não está escrito no texto é que Marilyn demonstrou matematicamente a sua solução. Após verificação da mesma, todos concordaram que não havia falhas, e que ela estava correta.

      Não coloquei a demonstração matemática, mas criei um diagrama ilustrado que mostra todas as combinações possíveis do problema e suas ideias.

      Para entender o raciocínio, permita-me explicar o quadro colorido (das cabras) que se encontra no meio do artigo.

      Existem 3 linhas e 3 colunas. As colunas mostram TODAS as possibilidades de escolha. Observe que a ordem, nesse caso, não importa. Então, conforme ilustrado, você pode escolher a porta 1, 2 ou 3. Esse fato está ilustrado com os textos: ‘Escolha 01’, ‘Escolha 02’ e ‘Escolha 03’. Tente acompanhar seguindo a figura.

      Na escolha 01 (primeira coluna) vamos analisar as possibilidades. Você escolheu a porta 01 (que tem o carro). Na linha 2, da mesma coluna, o desenho mostra que se você ficar, você ganha, na linha 3, o desenho mostra que se você mudar, você perde. Procure ler as outras duas colunas de cima para baixo para entender as suas combinações.

      Depois que entender o passo anterior, você perceberá que, a leitura da segunda linha inteira vai demonstrar que as possibilidades, caso você não mude, são:
      ‘Você fica e ganha’ (coluna 1), ‘Você fica e perde’ (coluna 2), ‘Você fica e perde’ (coluna 3).
      Ou seja, se você não mudar de porta, terá uma em três possibilidades de ganhar.

      A terceira linha, por outro lado, mostra as possibilidades, caso você mude a porta que, inicialmente, escolheu. As possibilidades são:
      ‘Você muda e perde’ (coluna 1), ‘Você muda e ganha’ (coluna 2), ‘Você muda e ganha’ (coluna 3)
      Ou seja, se você mudar, as possibilidades de você ganhar são de duas em três (2/3).

      Conforme disse anteriormente, o diagrama mostra todas as possibilidades possíveis do problema. Não existe mais nenhuma. Portanto, caso mude sempre a sua opção inicial, terá 2/3 de possibilidades de ganhar o prêmio (contra 1/3, se não mudar).

      Essa é uma solução contra-intuitiva, ou seja, vai contra o senso comum. Por isso é tão difícil ver a resposta correta.

      Espero ter esclarecido melhor a sua solução.

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